Question

设A，B，C为△ABC的三个内角，向量

m

=（sinB+sinC，0），

n

=（0，sinA），且|

m

|²-|

n

|²=sinBsinC．
（1）求角A的大小；   
（2）求sinB+sinC的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,正弦定理的应用

专题：综合题,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）利用向量的模长公式，结合正弦定理、余弦定理，即可（1）求角A的大小；
（2）由（1）知，B+C=

π

3

，故sinB+sinC=sinB+sin（

π

3

-B）=

1

2

sinB+

3

2

cosB=sin（B+

π

3

），即可求sinB+sinC的取值范围．

解答： 解：（1）∵

m

=（sinB+sinC，0），

n

=（0，sinA），且|

m

|²-|

n

|²=sinBsinC，
∴（sinB+sinC）²-sin²A=sinBsinC，
∴sin²B+sin²C-sin²A=-sinBsinC
由正弦定理可得b²+c²-a²=-bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

-bc

2bc

=-

1

2

，
∵A∈（0，π），
∴A=

2π

3

；
（2）由（1）知，B+C=

π

3

，
∴sinB+sinC=sinB+sin（

π

3

-B）=

1

2

sinB+

3

2

cosB=sin（B+

π

3

），
∵0＜B＜

π

3

，
∴

π

3

＜B+

π

3

＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin（B+

π

3

）≤1，
∴sinB+sinC的取值范围是（

3

2

，1]．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角函数的化简与求值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．