Question

已知向量

a

=（

3

sinωx，cosωx），

b

=（cosωx，-cosωx）（ω＞0）．函数f（x）=

a

•

b

，且函数f（x）的最小正周期为π．
（1）当x∈[0，2π]时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足b²=ac，求f（B）的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用向量的坐标，表示出f（x）的解析式，利用两角和公式整理，利用周期公式求得ω，得到函数解析式，在根据三角函数的性质求得函数的递增区间．
（2）利用余弦定理表示出cosB，根据基本不等式求得cosB的范围，进而得到B的范围，求得2B-

π

6

的范围，根据三角函数的性质求得函数的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

=（

3

sinωx，cosωx）•（cosωx，-cosωx）=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

，
∴T=

2π

2ω

=π，ω=1，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，
∵当2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

时，即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，函数单调增，
∵x∈[0，2π]，k=0，1，2，
∴函数在[0，2π]上的增区间为：[0，

π

3

]，[

5π

6

，

4π

3

]，[

11π

6

，2π]，
（2）∵△ABC中，cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∴0＜B≤

π

3

，
∴2B-

π

6

∈（-

π

6

，

π

2

]，
∴sin（2B-

π

6

）∈（-

1

2

，1]，
∴sin（2B-

π

6

）-

1

2

∈（-1，

1

2

]，即f（B）的取值范围是（-1，

1

2

]．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理的应用，三角函数的图象和性质．解题的过程中要特别注意角的范围，利用三角函数的单调性来解决取值范围的问题．