Question

3．已知数列{a_n}共有9项，其中，a₁=a₉=1，且对每个i∈{1，2，…，8}，均有$\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$∈{2，1，-$\frac{1}{2}$}，则数列{a_n}的个数为（　　）

• A． 729
• B． 491
• C． 490
• D． 243

Answer 1

分析 令b_i=$\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$，则对每个符合条件的数列{a_n}，满足$\sum_{i=1}^{8}{b}_{i}$=$\sum_{i=1}^{8}$=$\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$=$\frac{{a}_{9}}{{a}_{1}}$=1，且b_i∈{2，1，-$\frac{1}{2}$}，1≤i≤8．反之，由符合上述条件的八项数列{b_n}可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{a_n}．由此能求出结果．

解答 解：令b_i=$\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$（1≤i≤8），则对每个符合条件的数列{a_n}，
满足$\sum_{i=1}^{8}{b}_{i}$=$\sum_{i=1}^{8}$$\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$+$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$+$\frac{{a}_{6}}{{a}_{5}}$+$\frac{{a}_{8}}{{a}_{7}}$+$\frac{{a}_{8}}{{a}_{9}}$=1，且b_i∈{2，1，-$\frac{1}{2}$}，1≤i≤8．
反之，由符合上述条件的八项数列{b_n}可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{a_n}．
记符合条件的数列{b_n}的个数为N，
由题意知b_i（1≤i≤8）中有2k个-$\frac{1}{2}$，2k个2，8-4k个1，
且k的所有可能取值为0，1，2．
共有1+C₈²C₆²+C₈⁴C₄⁴=491个，
故选：B．

点评 本题考查数列的相邻两项比值之和的求法，考查满足条件的数列的个数的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．