Question

高三（3）班数学兴趣小组的甲、乙、丙三人独立解同一道数学难题，已知甲、乙、丙各自解出的概率分别为

1

2

、

1

3

、p，且他们是否解出该题互不影响．若三人中只有甲解出的概率为

1

4

．
（1）求甲、乙二人中至少有一人解出的概率；
（2）求甲、乙、丙三人中恰好有两人解出该题的概率．

Answer 1

考点：互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）记“甲、乙、丙三人各自解出该题”分别为事件A₁，A₂，A₃，依题意有P（A₁）=

1

2

，P（A₂）=

1

3

，P（A₃）=p，且A₁，A₂，A₃相互独立．由此利用对立事件能求出甲、乙二人中至少有一人解出该题的概率．
（2）设“三人中只有甲解出该题”为事件B，“三人中恰好有两人解出该题”为事件 C，则有P（B）=P（A₁•

.

A

2•

.

A

3），由此能求出甲、乙、丙三人中恰好有两人解出该题的概率．

解答： 解：记“甲、乙、丙三人各自解出该题”分别为事件A₁，A₂，A₃，
依题意有P（A₁）=

1

2

，P（A₂）=

1

3

，P（A₃）=p，且A₁，A₂，A₃相互独立．
（1）甲、乙二人中至少有一人解出该题的概率为
1-P（

.

A1

•

.

A2

）=1-

1

2

×

2

3

=

2

3

.5分
（2）设“三人中只有甲解出该题”为事件B，
“三人中恰好有两人解出该题”为事件 C，则有：
P（B）=P（A₁•

.

A

2•

.

A

3）=

1

2

×

2

3

×（1-p）=

1-p

3

=

1

4

，p=

1

4

．
∴甲、乙、丙三人中恰好有两人解出该题的概率：
P（C）=P（A₁•A₂•

.

A

3）+P（A₁•

.

A

2•A₃）+P（

.

A

1•A₂•A₃）
=

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

2

3

×

1

4

+

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

4

.10分．

点评：本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件的概率计算公式的合理运用．