Question

已知正项等比数列{a_n}满足：a₂₀₁₅-a₂₀₁₄=2a₂₀₁₃，若存在两项a_m，a_n使得

aman

=4a₁，则

1

m

+

4

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质,基本不等式

专题：计算题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：根据题意和等比数列的通项公式求出q，代入

aman

=4a₁，利用指数的运算化简得m+n=6，利用1的代换化简要求的式子，由基本不等式可求出最小值．

解答： 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q，则q＞0，
由于a₂₀₁₅-a₂₀₁₄=2a₂₀₁₃，q²-q=2，
解得q=2或q=-1（舍去），
∵存在两项a_m、a_n使得

aman

=4a₁，
∴

a1qm-1•a1qn-1

=4a₁，化简得q^m+n-2=16，
即2^m+n-2=16=2⁴，∴m+n=6，
则

1

m

+

4

n

=

1

6

（m+n）（

1

m

+

4

n

）
=

1

6

（5+

n

m

+

4m

n

）≥

1

6

（5+2

n m • 4m n

）=

3

2

，
当且仅当

n

m

=

4m

n

时取等号，
∴最小值是

3

2

，
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查等比数列的通项公式，涉及基本不等式求最小值以及1的代换，属中档题．