Question

16．已知sinx-cosx=$\frac{1}{5}$，0≤x≤π，则sin（2x+$\frac{π}{4}$）的值为$\frac{17\sqrt{2}}{50}$．

Answer 1

分析 由已知可求sinx＞0，利用同角三角函数基本关系式可求sinx，进而可求cosx，利用二倍角公式可求sin2x，cos2x的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin（2x+$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：∵sinx-cosx=$\frac{1}{5}$，sin²x+cos²x=1，
∴可得：25sin²x-5sinx-12=0，解得：sinx=$\frac{4}{5}$或-$\frac{3}{5}$，
又∵0≤x≤π，sinx≥0，
∴sinx=$\frac{4}{5}$，
∴cosx=sinx-$\frac{1}{5}$=$\frac{3}{5}$，sin2x=2sinxcosx=$\frac{24}{25}$，cos2x=2cos²x-1=-$\frac{7}{25}$，
∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）=sin2xcos$\frac{π}{4}$+cos2xsin$\frac{π}{4}$=$\frac{24}{25}×\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{7}{25}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{17\sqrt{2}}{50}$．
故答案为：$\frac{17\sqrt{2}}{50}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．