Question

已知等比数列{a_n}前n项和为S_n，且满足S₃=

7

2

，S₆=

63

2

，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+…+log₂a₂₅的值．

Answer 1

考点：等差数列的性质,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用等比数列的前n项和公式，将S₃和S₆展开，组成方程组，两式相除，解出a₁和q，写出通项公式．
（Ⅱ）先将第一问的结论代入，化简log₂a_n，得到log₂a_n=n-2，所以可以证出数列{n-2}为等差数列，所以利用等差数列的前n项和公式进行求和化简．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得，公比q≠1，再由S₃=

7

2

，S₆=

63

2

可得

a1(1-q3) 1-q = 7 2 a1(1-q6) 1-q = 63 2

，
解得

a1= 1 2 q=2

，故通项公式为 a_n=

1

2

•2^n-1=2^n-2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得log₂a_n=n-2，
∴log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+…+log₂a₂₅
=-1+0+1+2+…+23
=

25(-1+23)

2

=275．

点评：本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n项和公式、数列求和及对数式的运算等数学知识，考查思维能力、分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题．