Question

（1）已知a，b∈R^*，a+b=4，求证：

1

a

+

1

b

≥1．
（2）已知a，b，c∈R^*，a+b+c=9，求证：

1

a

+

1

b

+

1

c

≥1．
并类比上面的结论写出推广后的一般性结论．（不需证明）

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）根据基本不等式的性质，即可证明不等式

1

a

+

1

b

≥1．
（2）根据基本不等式，结合类比即可得到结论．

解答： 解：（1）∵a+b=4，∴

a

4

+

b

4

=1，则

1

a

+

1

b

=（

1

a

+

1

b

）（

a

4

+

b

4

）=

1

4

+

1

4

+

b

4a

+

a

4b

≥

1

2

+2

b 4a • a 4b

=

1

2

+

1

2

=1，
当且仅当

b

4a

=

a

4b

，即a=b=2时，取等号．∴

1

a

+

1

b

≥1．
2）由柯西不等式(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

)≥(1+1+1)2，

1

a

+

1

b

+

1

c

≥1，
结论推广为：a1+a2+…+an=n2，则

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≥1．

点评：本题忽悠考查基本不等式的应用，注意基本不等式成立的条件．