Question

已知定义域为R的函数f（x）=

b-2x

2x+a

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）用定义域证明f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；
（3）若对于t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：第（1）问，由奇函数的定义，f（-x）=-f（x）恒成立，构造关于a、b的方程组，解出a、b即可；
第（2）问，按照取值、作差、判断符号、下结论三步完成单调性的证明；
第（3）问，将f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0移项得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），再利用奇偶性变形为f（t²-2t）＜f（-2t²+k），最后利用单调性、定义域构造关于t的不等式恒成立，然后通过将k分离，最终化为函数的最值问题．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

b-2x

2x+a

是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）恒成立，
即f（-x）=

b-2-x

2-x+a

=

b•2x-1

a•2x+1

=-

b-2x

2x+a

=

2x-b

2x+a

恒成立，
即

b•2x-1

a•2x+1

=

2x-b

2x+a

恒成立，
∴a=b=1．
（2）证明：任取x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

1-2x1

2x1+1

-

1-2x2

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

①，
∵函数y=2^x在R内是增函数，且x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，∴2x2-2x1＞0，
又2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴①式＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）=

b-2x

2x+a

在（-∞，+∞）上为减函数．
（3）f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0可化为
f（t²-2t）＜-f（2t²-k），∵f（x）是奇函数，
∴f（t²-2t）＜f（-2t²+k），又∵在R上f（x）是减函数，
∴t²-2t＞-2t²+k恒成立，
即k＜3t²-2t，t∈R恒成立，
只需k＜（3（t-

1

3

） 2-

1

3

）_min=-

1

3

，
∴k的取值范围是（-∞，-

1

3

）．

点评：研究函数的性质，必须遵循定义域优先的原则；函数的奇偶性定义式是一个恒等式，利用这一点，f（-x）化简后与-f（x）是关于x的同一个式子，由此得到关于系数的方程；利用定义证明函数的单调性，关键是第二步作差，一般是将差变形为能够直接判断符号的式子，比如分解因式、化为常数、完全平方式等等．