Question

18．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C所对应的边长，acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0．
（1）求A；
（2）若a=2，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，整理可求A．
（2）通过余弦定理以及基本不等式求出b+c的范围，再利用三角形三边的关系求出b+c的范围，即可得解．

解答 解：（1）∵acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0，
∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC-sinB-sinC=0，
∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，
∵sinC≠0，
∴$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，
∴sin（A-30°）=$\frac{1}{2}$，
∴A-30°=30°，
∴A=60°；
（2）由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
则4=b²+c²-bc，
∴（b+c）²-3bc=4，
即3bc=（b+c）²-4≤3[$\frac{1}{2}$（b+c）]²，
化简得，（b+c）²≤16（当且仅当b=c时取等号），
则b+c≤4，又b+c＞a=2，
综上得，b+c的取值范围是（2，4]，
可得△ABC周长的取值范围为：（4，6]．

点评 本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、基本不等式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式，属于中档题．