Question

19．如图，矩形AB′DE（AE=6，DE=5），被截去一角（即△BB′C），AB=3，∠ABC=135°，平面PAE⊥平面ABCDE，PA+PE=10．
（1）求五棱锥P-ABCDE的体积的最大值；
（2）在（1）的情况下，证明：BC⊥PB．

Answer 1

分析 （1）推导出∠B'BC=45°，BB'=2，截去的△BB'C是等腰直角三角形，过P作PO⊥AE，垂足为O，从而PO⊥平面ABCDE，PO为五棱锥P-ABCDE的高，P在以A，E为焦点，长轴长为10的椭圆上，由椭圆的简单的几何性质知：点P为短轴端点时，P到AE的距离最大，从而PO_max=4，由此能求出五棱锥P-ABCDE的体积的最大值．
（2）连接OB，则OA=AB=3，△OAB是等腰直角三角形，∠ABO=45°，从而BC⊥BO，再由PO⊥平面ABCDE，得PO⊥BC，由此能证明BC⊥平面POB，从而BC⊥PB．

解答 解：（1）因为AB=3，∠ABC=135°，
所以∠B'BC=45°，BB'=AB'-AB=5-3=2，
所以截去的△BB'C是等腰直角三角形，
所以${S_{ABCDE}}={S_{AB'DE}}-{S_{△BB'C}}=6×5-\frac{1}{2}×2×2=28$．如图3，
过P作PO⊥AE，垂足为O，
因为平面PAE⊥平面ABCDE，平面PAE∩平面ABCDE=AE，PO?平面PAE，
所以PO⊥平面ABCDE，PO为五棱锥P-ABCDE的高．
在平面PAE内，PA+PE=10＞AE=6，P在以A，E为焦点，长轴长为10的椭圆上，
由椭圆的简单的几何性质知：点P为短轴端点时，P到AE的距离最大，
此时PA=PE=5，OA=OE=3，（指出即可，未说明理由不扣分）
所以PO_max=4，
所以${（{V_{P-ABCDE}}）_{max}}=\frac{1}{3}{S_{ABCDE}}\;•\;P{O_{max}}=\frac{1}{3}×28×4=\frac{112}{3}$．
证明：（2）连接OB，如图，据（Ⅰ）知，OA=AB=3，
故△OAB是等腰直角三角形，所以∠ABO=45°，
所以∠OBC=∠ABC-∠ABO=135°-45°=90°，即BC⊥BO．
由于PO⊥平面ABCDE，所以PO⊥BC，
而PO∩BO=O，所以BC⊥平面POB，PB?平面POB，所以BC⊥PB．

点评 本题考查几何体的体积的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．