Question

19．已知动圆过定点F（1，0），且与定直线1：x=-1相切．
（I）求动圆圆心的轨迹C的方程．
（Ⅱ）过点F作直线交轨迹C于A，B两点，O为坐标原点，若直线AO，BO分别交直线l₁：y=x+2于M，N两点，求△0MN面积的最小值．

Answer 1

分析 （I）根据抛物线的定义可知轨迹C为抛物线，利用待定系数法求出方程；
（II）设AB的方程为y=k（x-1），联立方程组消元，利用根系数的关系求出A，B坐标的关系，计算|MN|的最小值，即可得出△0MN面积的最小值．

解答 解：（I）∵动圆圆心到点F（1，0）的距离等于到定直线x=-1的距离，
∴动圆圆心的轨迹C为以F为焦点，以直线x=-1为准线的抛物线，
设抛物线方程为y²=2px，则$\frac{p}{2}$=1，即p=2．
∴动圆圆心的轨迹方程为y²=4x．
（II）设直线AB的方程为y=k（x-1），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消元得：$\frac{k}{4}{y}^{2}$-y-k=0，
设A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁）B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），则y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4．
直线OA方程为y=$\frac{4}{{y}_{1}}$x，直线OB的方程为y=$\frac{4}{{y}_{2}}$x，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{4}{{y}_{1}}x}\end{array}\right.$得M（$\frac{2{y}_{1}}{4-{y}_{1}}$，$\frac{8}{4-{y}_{1}}$），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{4}{{y}_{2}}x}\end{array}\right.$得N（$\frac{2{y}_{2}}{4-{y}_{2}}$，$\frac{8}{4-{y}_{2}}$）．
∴|MN|=$\sqrt{（\frac{2{y}_{1}}{4-{y}_{1}}-\frac{2{y}_{2}}{4-{y}_{2}}）^{2}+（\frac{8}{4-{y}_{1}}-\frac{8}{4-{y}_{2}}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}|{y}_{1}-{y}_{2}|}{|（4-{y}_{1}）（4-{y}_{2}）|}$，
∴|MN|²=$\frac{128（\frac{16}{{k}^{2}}+16）}{（12-\frac{16}{k}）^{2}}$=$\frac{128{k}^{2}+128}{9{k}^{2}-24k+16}$=$\frac{128（{k}^{2}+1）}{（3k-4）^{2}}$，
设3k-4=t，则k=$\frac{t+4}{3}$，∴|MN|²=$\frac{128（{t}^{2}+8t+25）}{9{t}^{2}}$=$\frac{128}{9}$（$\frac{25}{{t}^{2}}$+$\frac{8}{t}$+1）=$\frac{128}{9}$[（$\frac{5}{t}$+$\frac{4}{5}$）²+$\frac{9}{25}$]≥$\frac{128}{25}$，
∴当$\frac{5}{t}$=-$\frac{4}{5}$即t=-$\frac{5}{4}$时，即k=$\frac{11}{12}$时，|MN|²取得最小值$\frac{128}{25}$，
∴|MN|的最小值为$\frac{8\sqrt{2}}{5}$．
∵O到直线l₁的距离d=$\sqrt{2}$，
∴△OMN的面积的最小值S=$\frac{1}{2}$×$\frac{8\sqrt{2}}{5}$×$\sqrt{2}$=$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，难度中等．