Question

现将三双不同品牌的鞋排成一行，记同一双鞋相邻的数目为ξ．
（1）求ξ=0时的概率
（2）求ξ的分布列与期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）根据6只鞋全排列：|s|=6!，A_i表示第i双相邻的排列|A_i|=2•5!，|A_i•A_j|=2²•4!，|A_i•A_J•A_k|=2³•3!，求出|

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

|=10×4!，进而求出ξ=0时的概率即可；
（2）首先分别求出1双、2双、3双鞋相邻时的概率，然后求出ξ的分布列，最后用ξ的值乘以其概率，求和即可求出数学期望的值．

解答： 解：（1）ξ=0表示没有任何一双鞋相邻，
6只鞋全排列：|s|=6!，
A_i表示第i双相邻的排列|A_i|=2•5!，
|A_i•A_j|=2²•4!，|A_i•A_J•A_k|=2³•3!，
|

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

|=6!-（

c

1 3

•2•5!-

C

2 3

•22•4!

+C

3 3

•23•3!）
=10×4!，
所以P（ξ=0）=

4！×10

6！

=

1

3

；
（2）有2双鞋相邻时，P（ξ=2）=

(C 2 3 •A 2 2 ) (C 2 3 •A 2 2 )•2•2

6!

=

1

5

，
有3双鞋相邻时，P（ξ=3）=

A 3 3 •23

6!

=

1

15

，
则只有一双鞋相邻时，P（ξ=1）=1-

1

3

-

1

5

-

1

15

=

2

5

，
ξ的分布列为：

ξ	1	2	3
P	2 5	1 5	1 15

E（ξ）=1•

2

5

+2•

1

5

+3•

1

15

=1．

点评：本题主要考查了分布列以及离散型随机变量的数学期望，属于中档题．