Question

已知多面体ABCDE中，DE⊥平面ACD，AB∥DE，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，O为CD的中点．
（1）求证：AO∥平面BCE；
（2）求证：AO⊥平面CDE；
（3）求直线BD与平面BEC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）利用线面平行的判定，先证明AO∥BF，∴AO∥平面BCE；
（2）先证明AO⊥CD，AO⊥DE，利用线面垂直的判定定理，可得AO⊥平面CDE；
（3）取CE中点F，连接BF，DF，证明DF⊥平面CBE，可得∠DBF就是求直线BD与平面BEC所成角，从而可得其正弦值．

解答： （1）证明：取CE中点F，连接BF，OF，∵O为CD的中点，
∴OF

∥

.

DE，
∵AB∥DE，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，∴OF

∥

.

AB，
∴四边形ABFO为平行四边形，∴AO∥BF，
BF?面BCE，AO?面BCE，
∴AO∥平面BCE；
（2）证明：∵AC=AD，O为CD的中点，
∴AO⊥CD，
∵DE⊥平面ACD，AO?平面ACD，
∴AO⊥DE，
∵CD∩DE=D，
∴AO⊥平面CDE；
（3）解：取CE中点F，连接BF，DF，则AB∥DE且AB=

1

2

DE，
在△CDE中，OF∥DE且OF=

1

2

DE，
∴AB∥OF且AB=OF，
∴四边形ABFO是平行四边形，
∴BF∥AO，
∵AO⊥平面CDE，
∴BF⊥平面CDE，
∴BF⊥DF．
∵CD=DE，
∴DF⊥CE，
∵BF∩CE=F，
∴DF⊥平面CBE，
∴∠DBF就是求直线BD与平面BEC所成角．
在△BDF中，DF=

2

，BD=

5

，
∴sin∠DBF=

10

5

，
∴直线BD与平面BEC所成角的正弦值

10

5

．

点评：本题考查线面平行，线面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出线面角是关键．