题目内容
设椭圆
+
=1的两个焦点为F1，F2，P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记∠F1PF2=α，∠PF1F2=β，∠F1F2P=γ，求
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| sinα |
| sinβ+sinγ |
考点：椭圆的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：根据∠PF1F2和∠PF1F2求得∠F1PF2，进而根据正弦定理分别求得|PF1|和|PF2|，代入|PF1|+|PF2|=2a中求得a和c的关系，即可得出结论．
解答：
解：设|PF1|=m，|PF2|=n，
∵∠PF1F2=β，∠PF1F2=γ，
∴∠F1PF2=180°-γ-β
∴sinα=sin（γ+β）
由正弦定理可得
=
，
=
∴m=
，n=
根据椭圆的定义可知m+n=2a，∴
=2a，
∴
=
．
∵∠PF1F2=β，∠PF1F2=γ，
∴∠F1PF2=180°-γ-β
∴sinα=sin（γ+β）
由正弦定理可得
| m |
| sinβ |
| 2c |
| sinα |
| n |
| sinγ |
| 2c |
| sinα |
∴m=
| 2csinβ |
| sinα |
| 2csinγ |
| sinα |
根据椭圆的定义可知m+n=2a，∴
| 2c(sinβ+sinγ) |
| sinα |
∴
| sinα |
| sinβ+sinγ |
| c |
| a |
点评：本题主要考查了椭圆的应用及解三角形问题．解题的关键是充分利用椭圆的定义，找到三角形三边的关系，进而通过正弦定理转化成三角函数的化简．
练习册系列答案
相关题目
若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A、
| ||||
| B、a2＞b2 | ||||
C、
| ||||
| D、a（c2+1）＞b（c2+1） |
如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2，AC=2
已知某射击队员每次射击击中目标靶的环数都在6环以上（含6环），据统计数据绘制得到的频率分布条形图如图所示，其中a，b，c依次构成公差为0.1的等差数列，若视频率为概率，且该队员每次射击相互独立，试解答下列问题：