题目内容
如图，在边长为3等边三角形ABC中，点P为线段AB上一点，且| AP |
| AB |
| CA |
| CB |
（1）若λ=
| 1 |
| 3 |
| CP |
| CP |
（2）若
| CP |
| AB |
| PA |
| PB |
考点：平面向量数量积的运算,平行向量与共线向量
专题：平面向量及应用
分析：（1）利用向量的三角形法则、数量积运算性质即可得出；
（2）利用向量的三角形法则和数量积定义、一元二次不等式的解法即可得出．
（2）利用向量的三角形法则和数量积定义、一元二次不等式的解法即可得出．
解答：
解：（1）当λ=
时，
=
，
=
+
=
+
=
+
(
-
)=
+
=
+
．
∵
•
=3×3×cos60°=
．
∴|
|=
=
=
．
（2）∵
=
+
=
+λ
，
=
+
=
-
=(1-λ)
，
∴
•
≥
•
，化为(
+λ
)•
≥-λ
•(1-λ)
，
∴
•
+λ
2≥λ(λ-1)
2，
∴3×3×cos120°+9λ≥9λ（λ-1），
化为2λ2-4λ+1≤0，及0≤λ≤1．
解得
≤λ≤1．
∴实数λ的取值范围是[1-
，1]．
| 1 |
| 3 |
| AP |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| CP |
| CA |
| AP |
| CA |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| CA |
| 1 |
| 3 |
| CB |
| CA |
| 1 |
| 3 |
| CB |
| 2 |
| 3 |
| CA |
| 1 |
| 3 |
| b |
| 2 |
| 3 |
| a |
∵
| a |
| b |
| 9 |
| 2 |
∴|
| CP |
|
|
| 7 |
（2）∵
| CP |
| CA |
| AP |
| CA |
| AB |
| PB |
| PA |
| AB |
| AB |
| AP |
| AB |
∴
| CP |
| AB |
| PA |
| PB |
| CA |
| AB |
| AB |
| AB |
| AB |
∴
| CA |
| AB |
| AB |
| AB |
∴3×3×cos120°+9λ≥9λ（λ-1），
化为2λ2-4λ+1≤0，及0≤λ≤1．
解得
2-
| ||
| 2 |
∴实数λ的取值范围是[1-
| ||
| 2 |
点评：本题考查了向量的三角形法则、数量积运算性质、向量的三角形法则和数量积定义、一元二次不等式的解法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
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