Question

设集合I={1，2，3，…，n}（n∈N₊），选择I的两个非空子集A和B，使B中最小的数大于A中最大的数，记不同的选择方法种数为a_n，显然a₁=0，a₂=

C

2 2

=1
（1）求a_n；
（2）记数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意得：a₁=0，a₂=

C

2 2

=1当n≥2时，a_n=

C

2 n

+2

C

3 n

+3

C

4 n

+…+（n-1）

C

n n

，由此能求出a_n=n2^n-1-2ⁿ+1（n∈N₊）
（2）由a_n=n2^n-1-2ⁿ+1（n∈N₊），利用分组求和法和裂项求和法能求出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）由题意得：a₁=0，a₂=

C

2 2

=1
当n≥2时，a_n=

C

2 n

+2

C

3 n

+3

C

4 n

+…+（n-1）

C

n n

=（2

C

2 n

+3

C

3 n

+4

C

4 n

+…+n

C

n n

）-（

C

2 n

+

C

3 n

+

C

4 n

+…+

C

n n

）
=n2^n-1-（2ⁿ-1）=n2^n-1-2ⁿ+1
又a₁=0，a₂=1也满足，
故a_n=n2^n-1-2ⁿ+1（n∈N₊）
（2）S_n=a₁+a₂+…+a_n
=（1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1）-（ 2¹+2²+…+2ⁿ）+n
记T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1
2 T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ
两式相减得：T_n=（n-1）2ⁿ+1
故S_n=（n-1）2ⁿ+1-（2ⁿ⁺¹-2）+n
=（n-3）2ⁿ+n+3．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和裂项求和法的合理运用．