Question

已知圆C：（x-1）²+（y-1）²=2经过椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F，且F到右准线的距离为2．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）如图，过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求

OM

•

OQ

的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）在圆（x-1）²+（y-1）²=2中，令y=0，得F（2，0），

a2

c

-c=2得a²=8，由此能求出椭圆方程．
（2）依题意射线l的斜率存在，设l：y=kx（x＞0，k＞0），设P（x₁，kx₁），Q（x₂，kx₂），直线代入椭圆、圆的方程，结合向量的数量积公式，利用导数，即可求

OM

•

OQ

的最大值．

解答： 解：（1）在C：（x-1）²+（y-1）²=2中，
令y=0得F（2，0），即c=2，
又

a2

c

-c=2得a²=8，∴椭圆Γ：

x2

8

+

y2

4

=1．…（4分）
（2）依题意射线l的斜率存在，设l：y=kx（x＞0，k＞0），设P（x₁，kx₁），Q（x₂，kx₂）
直线代入椭圆方程得：（1+2k²）x²=8，∴x₂=

2 2

1+2k2

．（6分）
由直线代入圆的方程得：（1+k²）x²-（2+2k）x=0，∴x₁=

2+2k

1+k2

，
∴

OM

•

OQ

=

1

2

（x₁，kx₁）•（x₂，kx₂）=

1

2

（x₁x₂+k²x₁x₂）=2

2

•

1+k

1+2k2

（k＞0）．（9分）
设φ（k）=

k2+2k+1

1+2k2

，φ′（k）=

-4k2-2k+2

(1+2k2)2

，
令φ′（k）＞0，得-1＜k＜

1

2

．
又k＞0，∴φ（k）在（0，

1

2

）上单调递增，在（

1

2

，+∞）上单调递减．
∴当k=

1

2

时，φ（k）_max=

3

2

，即

OM

•

OQ

的最大值为2

3

．…（12分）

点评：本题考查直线、圆、椭圆、平面向量等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、化归转化及函数与方程等数学思想．