Question

9．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．曲线C的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+3=0，曲线D的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{2}cosα\\ y=1+\sqrt{2}sinα\end{array}\right.$（α为参数）．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，曲线D的参数方程化为普通方程；
（2）若点P为直线$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}t\\ y=4+\sqrt{2}t\end{array}\right.$（t为参数）上的动点，点Q为曲线D上的动点，求P，Q两点间距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）由曲线C的极坐标方程ρcosθ-ρsinθ+3=0，能求出曲线C的直角坐标方程；因为曲线D的参数方程消去参数α，能求出曲线D的普通方程．
（2）将直线方程化为普通方程x-y+3=0，求出圆D的圆心D（2，1）到直线：x-y+3=0的距离d，得到PQ的最小值为$d-\sqrt{2}=\sqrt{2}$．

解答 解：（1）因为曲线C的极坐标方程ρcosθ-ρsinθ+3=0，
所以曲线C的直角坐标方程为：x-y+3=0．…（3分）
因为曲线D的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}cosα}\\{y=1+\sqrt{2}sinα}\end{array}}\right.$（α为参数）．
所以曲线D的普通方程为（x-2）²+（y-1）²=2…（6分）
（2）将直线方程化为普通方程 x-y+3=0，…（9分）
圆D：（x-2）²+（y-1）²=2的圆心D（2，1）到直线：x-y+3=0的距离：
$d=\frac{{|{2-1+3}|}}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}$，…（12分）
所以PQ的最小值为$d-\sqrt{2}=\sqrt{2}$． …（14分）

点评 本题考查直线的直角坐标方程的求法，考查圆的普通方程的求法，考查两点间距离的最小值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．