Question

1．已知定义在（0，+∞）上的函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+2ax，g（x）=3{a^2}lnx+b$，其中a＞0．设两曲线y=f（x）与y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同．则b的最大值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}{e^2}$
• B． $\frac{3}{2}{e^{\frac{2}{3}}}$
• C． $\frac{2}{3}{e^{\frac{2}{3}}}$
• D． $\frac{1}{3}{e^{\frac{1}{3}}}$

Answer 1

分析 设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（m，n）处的切线相同，分别求出两个函数的导数，可得切线的斜率相等且f（m）=g（m），解得m=a，求出b关于a的函数，设h（t）=$\frac{5}{2}$t²-3t²lnt（t＞0），求出导数和单调区间，可得极大值，且为最大值，即可得到所求b的范围．

解答 解：设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（m，n）处的切线相同，
f′（x）=x+2a，g′（x）=$\frac{3{a}^{2}}{x}$，
由题意知f（m）=g（m），f′（m）=g′（m），
∴m+2a=$\frac{3{a}^{2}}{m}$，且$\frac{1}{2}$m²+2am=3a²lnm+b，
由m+2a=$\frac{3{a}^{2}}{m}$得，m=a，或m=-3a（舍去），
即有b=$\frac{1}{2}$a²+2a²-3a²lna=$\frac{5{a}^{2}}{2}$-3a²lna，
令h（t）=$\frac{5}{2}$t²-3t²lnt（t＞0），
则h′（t）=2t（1-3lnt），于是：
当2t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜e${\;}^{\frac{1}{3}}$时，h′（t）＞0；
当2t（1-3lnt）＜0，即t＞e${\;}^{\frac{1}{3}}$时，h′（t）＜0．
故h（t）在（0，+∞）的最大值为h（e${\;}^{\frac{1}{3}}$）=$\frac{3}{2}$e${\;}^{\frac{2}{3}}$，
故b的最大值为$\frac{3}{2}$e${\;}^{\frac{2}{3}}$，
故选：B．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查参数分离和构造函数法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．