Question

20．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{24}{7-cos2θ}$．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）若直线l与曲线C交于不同两点A，B，求tanα的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C的普通方程．
（2）直线l的参数方程消去参数t，能化为普通方程，代入C的普通方程，得（4k²+3）x²+16kx+4=0，由此利用根的判别式能求出tanα的取值范围．

解答 解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{24}{7-cos2θ}$．
∴24=ρ²（7-cos²θ+sin²θ），
∵ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴曲线C的普通方程为24=7（x²+y²）-x²+y²，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）∵直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
将直线l的参数方程消去参数t，化为普通方程得y=kx+2（其中k=tanα），
代入C的普通方程并整理得（4k²+3）x²+16kx+4=0，
故△=16²k²-16（4k²+3）＞0，
解得k＜-$\frac{1}{2}$或k＞$\frac{1}{2}$，
∴tanα的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查曲线的普通方程的求法，考查角的正切值的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．