Question

14．设实数x，y满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}{4x-y-10≤0}\\{x-2y+8≥0}\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的x≥0，y≥0最大值为12，则$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{25}{6}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． $\frac{11}{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 利用线性规划的知识求出则Z_max在点D处取得最大值，由此得出a、b的关系式，
再利用基本不等式求$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$的最小值．

解答 解：约束条件$\left\{\begin{array}{l}{4x-y-10≤0}\\{x-2y+8≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域如图所示；

由$\left\{\begin{array}{l}{4x-y-10=0}\\{x-2y+8=0}\end{array}\right.$，解得D（4，6），
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，
则Z_max在点D处取得最大值；
即4a+6b=12，
所以2a+3b=6，
所以$（\frac{2}{a}+\frac{3}{b}）=\frac{{（\frac{2}{a}+\frac{3}{b}）（2a+3b）}}{6}=\frac{{4+9+\frac{6a}{b}+\frac{6b}{a}}}{6}≥\frac{{13+2\sqrt{6×6}}}{6}=\frac{25}{6}$，
当且仅当a=b=$\frac{6}{5}$时取“=”．
故选：A．

点评 本题考查了二元一次不等式组表示平面区域以及基本不等式的应用问题，是综合题．