Question

8．定义在（-1，1）的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$）；②当x＜0时，f（x）＞0．回答下列问题：
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并说明理由；
（3）若f（$\frac{1}{5}$）=$\frac{1}{2}$，试求f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{1}{11}$）-f（$\frac{1}{19}$）的值．

Answer 1

分析 （1）f（x）在（-1，1）上是奇函数．可令x=y=0，求得f（0）=0，再令y=-x，代入化简可得f（-x）=-f（x），即可得到结论；
（2）f（x）在（0，1）上单调递减．运用定义，设0＜m＜n＜1，则f（m）-f（n）=f（m）+f（-n），结合两个条件，即可得到结论；
（3）方法一、由（1）计算f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{1}{11}$）-f（$\frac{1}{19}$）=f（$\frac{5}{13}$），再由f（$\frac{1}{5}$）+f（$\frac{1}{5}$）=f（$\frac{5}{13}$），即可得到结果；
方法二、分别计算f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{1}{5}$），f（$\frac{1}{3}$）-f（$\frac{1}{11}$），f（$\frac{1}{4}$）-f（$\frac{1}{19}$），累加即可得到结果．

解答 解：（1）f（x）在（-1，1）上是奇函数．
理由：对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$），
令x=y=0得2f（0）=f（0），可得f（0）=0，
令y=-x则f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x），
所以f（x）在（-1，1）上是奇函数；
（2）f（x）在（0，1）上单调递减．
理由：设0＜m＜n＜1，则f（m）-f（n）=f（m）+f（-n）=f（$\frac{m-n}{1-mn}$），
而m-n＜0，0＜mn＜1，则$\frac{m-n}{1-mn}$＜0，
当x＜0时，f（x）＞0，
所以f（$\frac{m-n}{1-mn}$）＞0，即有f（m）＞f（n），
则f（x）在（0，1）上单调递减．
（3）方法一、由f（x）在（-1，1）上是奇函数，可得
f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{1}{11}$）-f（$\frac{1}{19}$）=f（$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{11}}{1-\frac{1}{22}}$）-f（$\frac{1}{19}$）
=f（$\frac{3}{7}$）-f（$\frac{1}{19}$）=f（$\frac{\frac{3}{7}-\frac{1}{19}}{1-\frac{3}{7}×\frac{1}{19}}$）=f（$\frac{5}{13}$），
f（$\frac{1}{5}$）+f（$\frac{1}{5}$）=f（$\frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{5}}{1+\frac{1}{25}}$）=f（$\frac{5}{13}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1．
法二：由于f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{1}{5}$）=f（$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{10}}$）=f（$\frac{1}{3}$），
f（$\frac{1}{3}$）-f（$\frac{1}{11}$）=f（$\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{11}}{1-\frac{1}{33}}$）=f（$\frac{1}{4}$），f（$\frac{1}{4}$）-f（$\frac{1}{19}$）=f（$\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{19}}{1-\frac{1}{4×19}}$）=f（$\frac{1}{5}$），
则f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{1}{11}$）-f（$\frac{1}{19}$）=2f（$\frac{1}{5}$）=2×$\frac{1}{2}$=1．

点评 本题考查抽象函数的奇偶性和单调性的判断及证明、应用，主要是求函数值，考查转化思想和定义法的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．