Question

13．求适合下列条件的曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，焦距为4，并且经过点$P（3，-2\sqrt{6}）$的椭圆的标准方程；
（2）渐近线方程是$y=±\frac{1}{2}x$，且过点（2，2）的双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得c=2，由a，b，c的关系和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆的方程；
（2）由渐近线方程可设双曲线的方程为y²-$\frac{1}{4}$x²=m（m≠0），代入点（2，2），解方程可得m，进而得到双曲线的标准方程．

解答 解：（1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得2c=4，即c=2，
a²-b²=4，
代入P的坐标，可得$\frac{9}{{a}^{2}}$+$\frac{24}{{b}^{2}}$=1，
解得a=6，b=4$\sqrt{2}$，
可得椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{32}$=1；
（2）由渐近线方程是$y=±\frac{1}{2}x$，
可设双曲线的方程为y²-$\frac{1}{4}$x²=m（m≠0），
将（2，2）代入上式，可得4-$\frac{1}{4}$×4=m，
即m=3，
则双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{12}$=1．

点评 本题考查椭圆和双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查化简整理的运算能力，属于基础题．