Question

已知过点P（1，-2），倾斜角为

π

6

的直线l和抛物线x²=y+m       
（1）m取何值时，直线l和抛物线交于两点？
（2）m取何值时，直线l被抛物线截下的线段长为

4 3 -2

3

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由点斜式方程得到直线方程，联立抛物线方程，消去y，得到二次方程，由判别式大于0，解出即可；
（2）由（1）运用韦达定理，以及弦长公式，列方程，解出即可．

解答： 解：（1）由已知可得直线l：y+2=

3

3

（x-1），
联立

y= 3 3 (x-1)-2 x2=y+m

得x²-

3

3

x+

3

3

+2-m=0，
因为有两个交点，所以△=

1

3

-4（

3

3

+2-m）＞0，
解得m＞

23+4 3

12

；             
（2）设直线l交抛物线于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，
则x₁+x₂=

3

3

，x₁x₂=

3

3

+2-m，
则|AB|=

(1+k2)((x1+x2)2-4x1x2

=

4 3 ( 1 3 -4( 3 3 +2-m))

=

4 3 -2

3

，
解得，m=

3 3 +11

6

．

点评：本题考查抛物线的方程和运用，考查联立直线方程和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式解题，考查运算能力，属于中档题．