Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1与

x

2

+y=1只有一个公共点，且e=

3

2

，求椭圆的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：把直线的方程与椭圆的方程联立可得（a²+4b²）y²-8b²y+4b²-a²b²=0．由于椭圆与直线只有一个公共点，
可得△=0，a²+4b²=4，联立

a2+4b2=4 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得即可．

解答： 解：联立

x2 a2 + y2 b2 =1 x+2y=2

，化为（a²+4b²）y²-8b²y+4b²-a²b²=0．
∵椭圆与直线只有一个公共点，
∴△=64b⁴-4（a²+4b²）（4b²-a²b²）=0，
化为a²+4b²=4，
联立

a2+4b2=4 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a²=2，b²=

1

2

．
∴椭圆的方程为：

x2

2

+2y2=1．

点评：本题考查了直线与椭圆相切的性质、椭圆的标准方程及其性质，属于基础题．