Question

已知函数f（x）=

x+2

+k，k为已知的实数，
（1）求函数f（x）的值域；并判断其在定义域上的单调性（不必证明）；
（2）当k=-2时，设f（x）≤0的解集为A，函数g（x）=lg（4^x-6^x+1+a•9^x）的定义域为B，若（A∪B）⊆B，求实数a的取值范围；
（3）若存在实数a，b≥-2且a＜b，使f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,函数的值域,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用,集合

分析：（1）由偶次根式的含义，可得定义域和值域，以及函数的单调性；
（2）由

x+2

≤2，求得集合A=[-2，2]，由于（A∪B）⊆B，即有A⊆B，要使函数g（x）=lg（4^x-6^x+1+
a•9^x）有意义，则4^x-6^x+1+a•9^x＞0在[-2，2]恒成立，运用参数分离，并令t=（

2

3

）^x，则t∈[

4

9

，

9

4

]，运用二次函数的性质，求出不等式右边的最大值，即可得到a的取值范围；
（3）根据题意可得到：

k+ a+2 =2a k+ b+2 =2b

，即方程k+

x+2

=2x有两个不相等的实数根，分别画出左右两边函数：y=

x+2

和y=2x-k的图象，结合图象法可得答案．

解答： 解：（1）函数f（x）=

x+2

+k的定义域为[-2，+∞），
值域为[0，+∞），且在[-2，+∞）上递增；
（2）当k=-2时，设f（x）≤0的解集为A，即有

x+2

≤2，
解得-2≤x≤2，即A=[-2，2]，由于（A∪B）⊆B，即有A⊆B，
要使函数g（x）=lg（4^x-6^x+1+a•9^x）有意义，则
4^x-6^x+1+a•9^x＞0在[-2，2]恒成立，即有
a＞6•（

2

3

）^x-（

2

3

）^2x，令t=（

2

3

）^x，则t∈[

4

9

，

9

4

]，
上式右边=6t-t²=-（t-3）²+9，由于区间[

4

9

，

9

4

]是增区间，
则右边最大值为6×

9

4

-

81

16

=

135

16

，
则a＞

135

16

；
（3）由于存在实数a，b≥-2且a＜b，
使f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，
由于函数f（x）=k+

x+2

是在x≥-2上是增函数，
则有

k+ a+2 =2a k+ b+2 =2b

，
此式表明：方程k+

x+2

=2x有两个不相等的实数根，
即方程

x+2

=2x-k有两个不相等的实数根，
分别画出左右两边函数：y=

x+2

和y=2x-k的图象，
当直线y=2x-k与曲线y=

x+2

相切时，

x+2

=2x-k有唯一解，解得k=-

33

8

；
当直线y=2x-k过曲线上的点（-2，0）时，
解得k=-4；
结合图象可得：当两个函数的图象有两个不同的交点时，
实数k的取值范围是（-

33

8

，-4]．

点评：本题主要考查函数与方程的综合运用，本题的关键是将原问题转化为方程的解，进而转化为函数图象的交点问题，利用数形结合的思想方法加以解决，同时考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．