Question

已知函数f（x）=

|a-1|

a2-9

（a^x-a^-x）（a＞0且a≠1）在（-∞，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：首先证明函数a^x-a^-x的增减性，然后去绝对值得到函数f（x），由函数f（x）在R上是增函数可得：
当a＞1时，

a-1

a2-9

＞0；当0＜a＜1时，

1-a

a2-9

＜0．由此求得a的范围．

解答： 解：设x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则ax1-a-x1-(ax2-a-x2)
=ax1-ax2-

1

ax1

+

1

ax2

=(ax1-ax2)(1+

1

ax1ax2

)．
当a＞1时，由x₁＜x₂，得ax1-ax2＜0，则函数a^x-a^-x为增函数；
当0＜a＜1时，由x₁＜x₂，得ax1-ax2＞0，则函数a^x-a^-x为减函数．
∴当a＞1时，f（x）=

|a-1|

a2-9

（a^x-a^-x）=

a-1

a2-9

(ax-a-x)，
要使此函数为增函数，则

a-1

a2-9

＞0，解得：-3＜a＜1或a＞3，
∴a＞3；
当0＜a＜1时，f（x）=

|a-1|

a2-9

（a^x-a^-x）=

1-a

a2-9

(ax-a-x)，
要使此函数为增函数，则

1-a

a2-9

＜0，解得：-3＜a＜1或a＞3，
∴0＜a＜1．
综上可得a的范围为{a|a＞3，或0＜a＜1}．

点评：本题主要考查函数的单调性的性质，体现了转化的数学思想和分类讨论的数学思想，属于中档题．