题目内容
在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽N个人的血，可以用两种方法进行．（1）将每个人的血分别去验，这就需N次．（2）按k个人一组进行分组，把从k个人抽出来的血混在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明k个人的血液都呈阴性反应，这样，这k个人的血就只需验一次．若呈阳性，则再对这k个人的血液分别进行化验．这样，这k个人的血总共要化验k+1次．假设每个人化验呈阳性的概率为p，且这些人的试验反应是相互独立的．
（Ⅰ）设以k个人为一组时，记这k个人总的化验次数为X，求X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）设以k个人为一组，从每个人平均需化验的次数的角度说明，若p=0.1，选择适当的k，按第二种方法可以减少化验的次数，并说明k取什么值时最适宜．（取ln0.9=-0.105）
（Ⅰ）设以k个人为一组时，记这k个人总的化验次数为X，求X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）设以k个人为一组，从每个人平均需化验的次数的角度说明，若p=0.1，选择适当的k，按第二种方法可以减少化验的次数，并说明k取什么值时最适宜．（取ln0.9=-0.105）
考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差
专题：应用题,概率与统计
分析：（Ⅰ）k个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为（1-p）k，呈阳性结果的概率为1-（1-p）k，可得X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）由题意，f（k）=1-0.9k+
小于1且取得最小值时，就能得到最好的分组方法．
（Ⅱ）由题意，f（k）=1-0.9k+
| 1 |
| k |
解答：
解：（Ⅰ）k个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为（1-p）k，呈阳性结果的概率为1-（1-p）k．
∴EX=k[1-（1-p）k]+1 …（6分）
（Ⅱ）由题意，f（k）=1-0.9k+
小于1且取得最小值时，就能得到最好的分组方法．
∵f′（3）=-0.035＜0，f′（4）=0.006＞0
且f（3）＞f（4），∴k=4最适宜 …（12分）
| X | 1 | k+1 |
| P | （1-p）k | 1-（1-p）k |
（Ⅱ）由题意，f（k）=1-0.9k+
| 1 |
| k |
∵f′（3）=-0.035＜0，f′（4）=0.006＞0
且f（3）＞f（4），∴k=4最适宜 …（12分）
点评：本题主要考查了导数知识的运用，同时考查了离散型变量的数学期望以及计算能力，属于中档题．
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