Question

已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象在x=e处的切线方程；
（Ⅱ）设实数a＞0，求函数F（x）=

f(x)

a

在[a，2a]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，由f（e）=e，k=f′（e）=2，从而求出曲线的方程；
（Ⅱ）先求出函数的导数，得出函数的单调区间，通过讨论a的范围，从而求出函数的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，
∵f（e）=e又∵k=f′（e）=2
∴函数y=f（x）的在x=e处的切线方程为：y=2（x-e）+e，即y=2x-e．
（Ⅱ）F′（x）=

1

a

（lnx+1），
令F′（x）=0得x=

1

e

当x∈（0，

1

e

），F′（x）＜0，F（x）单调递减，
当x∈（

1

e

，+∞），F′（x）＞0，F（x）单调递增．
当a≥

1

e

时，F（x）在（0，2a）递增，F（x）_min=F（a）=lna，
当a＜

1

e

＜2a，即

1

2e

＜a＜

1

e

时，F（x）_min=F（

1

e

）=-

1

ae

，
当2a≤

1

e

即0＜a≤

1

2e

时，
F（x）在[a，2a]递减，F（x）_min=F（2a）=2ln（2a）．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导的应用，考查分类讨论思想，是一道中档题．