Question

已知△ABC的三边长为 a、b、c，且其中任意两边长均不相等．若a、b、c成等差数列．
（1）比较

b a

与

c b

的大小，并证明你的结论；
（2）求证B不可能是钝角．

Answer 1

考点：反证法,不等式比较大小

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由条件可得2b=a+c，利用基本不等式可得 b²≥ac．再根据

b a

c b

=

b2 ac

≥

ac ac

=1，可得

b a

和

c b

 的大小关系．
（2）由条件得到2b=a+c，再由余弦定理表示出cosB，两式联立消去b，得到关于a与c的关系式，整理后利用基本不等式变形，可得出cosB的范围，利用余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，根据B为三角形的内角，即可求出B的范围．

解答： 解：（1）∵△ABC的三边a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，∴b=

a+c

2

≥

ac

，∴b²≥ac．
再根据

b a

c b

=

b2 ac

≥

ac ac

=1，可得

b a

≥

c b

．
（2）△ABC的三边a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，
再根据 cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3(a2+c2)

8ac

-

1

4

≥

6ac

8ac

-

1

4

=

1

2

，
∴B∈[0，

π

3

]，∴B不可能是钝角．

点评：此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及性质是解本题的关键，属于基础题．