Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意n∈N^*，点（n，S_n）在二次函数f（x）=x²+x图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=

1

Sn

，n∈N*，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m的一切正整数n，不等式2S_n-4200＞

a 2 n

2

恒成立，求这样的正整数m共有多少个？

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用点在图象上，直接求解数列{a_n}的通项公式；
（2）求出数列{a_n}的前n项和，化简b_n=

1

Sn

，n∈N*，利用裂项法求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）通过不等式2S_n-4200＞

a 2 n

2

恒成立，转化为正整数n的范围，利用m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500，数列的通项公式求出正整数m的个数．

解答： 解：（1）由题意得：Sn=n2+n．
当n=1时，a1=S1=12+1=2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n，n=1时也适合该式，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n．…（3分）
（2）数列{b_n}满足bn=

1

Sn

，n∈N*，所以bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
所以数列{b_n}的前n项和
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．…（6分）
（3）由2Sn-4200＞

a 2 n

2

恒成立，即2n2+2n-4200＞

(2n)2

2

，
整理得2n＞4200，即n＞2100．
由题意则有：m≥2100且m∈M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，
则m为大于等于2100小于3000的偶数，
即符合要求的m是以2100为首项，2为公差，2998为最后一项的等差数列，则m的个数为

2998-2100

2

+1=450(个)…（10分）

点评：本题考查数列与函数相结合，数列的求和的方法，数列与不等式以及恒成立问题，考查分析问题解决问题的能力．