Question

8．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}+3x，-2≤x＜0}\\{ln\frac{1}{x+1}，0≤x≤2}\end{array}\right.$，若g（x）=|f（x）|-ax-a的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$）
• B． [$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{2e}$]
• C． （0，$\frac{1}{e}$）
• D． （0，$\frac{1}{2e}$）

Answer 1

分析 求出|f（x）|的解析式，作出y=|f（x）|与y=a（x+1）的函数图象，根据交点个数判断a的范围．

解答 解：令g（x）=0得|f（x）|=ax+a=a（x+1），
|f（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-3x，-2≤x＜0}\\{ln（x+1），0≤x≤2}\end{array}\right.$，
作出y=|f（x）|与y=a（x+1）的函数图象，则两函数图象有3个交点，

若直线y=a（x+1）经过点（2，ln3），则a=$\frac{ln3}{3}$，
若直线y=a（x+1）与y=ln（x+1）相切，设切点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=a（{x}_{0}+1）}\\{{y}_{0}=ln（{x}_{0}+1）}\\{\frac{1}{{x}_{0}+1}=a}\end{array}\right.$，解得x₀=e-1，y₀=1，a=$\frac{1}{e}$．
∴$\frac{ln3}{3}$≤a＜$\frac{1}{e}$，
故选：A．

点评 本题考查来了函数零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．