Question

19．椭圆$\frac{{x}^{2}}{a}$+y²=1（a＞1）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{b}$-y²=1（b＞0）有相同的焦点F₁，F₂，若P为两曲线的一个交点，则△PF₁F₂的面积为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据题意，设P的坐标为（m，n），则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{m}^{2}}{a}+{n}^{2}=1}\\{\frac{{m}^{2}}{b}-{n}^{2}=1}\end{array}\right.$，解可得m、n的值，可以表示△PF₁F₂的面积S，又由椭圆$\frac{{x}^{2}}{a}$+y²=1（a＞1）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{b}$-y²=1（b＞0）有相同的焦点，分析可得a-1=b+1，即b=a-2，代入S中，计算可得答案．

解答 解：根据题意，设两曲线的一个交点P的坐标为（m，n），
则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{m}^{2}}{a}+{n}^{2}=1}\\{\frac{{m}^{2}}{b}-{n}^{2}=1}\end{array}\right.$，解可得$\left\{\begin{array}{l}{m=±\sqrt{\frac{2ab}{a+b}}}\\{n=±\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}}\end{array}\right.$，
椭圆圆$\frac{{x}^{2}}{a}$+y²=1中，|F₁F₂|=2c=2$\sqrt{a-1}$，
△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$×|n|×2$\sqrt{a-1}$=$\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}$×$\sqrt{a-1}$，
又由椭圆$\frac{{x}^{2}}{a}$+y²=1（a＞1）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{b}$-y²=1（b＞0）有相同的焦点，
则有a-1=b+1，即b=a-2，
则S=$\sqrt{\frac{2}{2a-2}}$×$\sqrt{a-1}$=1；
故选：A．

点评 本题考查椭圆、双曲线的几何性质，注意两曲线的焦点相同，构造a、b的关系．