Question

18．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a=2，c=3，求sinC的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简条件中的等式，利用两角和的正弦值求出cosB的值，从而求出B的大小；
（Ⅱ）根据余弦定理求出b的值，再由正弦定理求出sinC的值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，（2a-c）cosB=bcosC，
由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC；
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA．
∵0＜A＜π，
∴sinA≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
又0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）a=2，c=3，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=2²+3²-2×2×3cos$\frac{π}{3}$=7，
∴b=$\sqrt{7}$；
再由正弦定理得
sinC=$\frac{csinB}{b}$=$\frac{3×sin\frac{π}{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$．

点评 本题考查了正弦、余弦定理的灵活应用问题，是综合题．