Question

1．如图，在A，B两城周边有两条直线互相垂直的高速公路l₁，l₂，在点O外交汇，A城到高速公路l₁，l₂的距离分别是30km，20km，B城到高速公路l₁，l₂的距离分别是60km，80km，为了方便居民出行，现要在高速公路l₁或l₂上建造一个高速公路出入口P（不能建造在点O处），经调查，若出入口O建造在高速公路l₁上，A，B两城居民的“不满意度”M₁=$\frac{1}{2}$（PA+PB），若出入口P建造在高速公路l₂上，A，B两城居民的“不满意度”M₂=$\frac{1}{2}$$\sqrt{P{A}^{2}+P{B}^{2}}$．
（1）若出入口P建造在高速公路l₁上，求A，B两城居民，“不满意度”的最小值；
（2）试确定出入口P建在高速公路何处，才能使A，B两城居民的，“不满意度”最小？

Answer 1

分析 （1）以l₁，l₂所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，由此能求出当A₁，P，B三点共线时，即点P（40，0）时，M₁取最小值，并能求出这个最小值．
（2）若点P在l₂上时，设P（0，a），当a=45时，M₂取最小值，从而求出出入口P应该建在高速公路l₂上，且到点O距离为45km，能够使得A，B城居民的“平均不满意度”最小．

解答 解：（1）以l₁，l₂所在直线为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，
则A（20，30），B（80，60）…（2分）
若点P在l₁上时，则点A关于则x轴的对称点为A₁（20，-30），
故${M_1}=\frac{k}{2}（PA+PB）=\frac{k}{2}（P{A_1}+PB）≥\frac{k}{2}{A_1}B=\frac{k}{2}\sqrt{11700}$
当A₁，P，B三点共线时，即点P（40，0）时，M₁的最小值为$\frac{k}{2}\sqrt{11700}$．…（8分）
（2）若点P在l₂上时，设P（0，a），${M_2}=\frac{k}{2}\sqrt{P{A^2}+P{B^2}}=\frac{k}{2}\sqrt{2{{（a-45）}^2}+7250}$…（12分）
当a=45时，M₂的最小值为$\frac{k}{2}\sqrt{7250}$…（14分）
∵$\frac{k}{2}\sqrt{11700}＞$$\frac{k}{2}\sqrt{7250}$
∴出入口P应该建在高速公路l₂上，且到点O距离为45km，能够使得A，B城居民的“平均不满意度”最小．
答：出入口P建在高速公路l₂上，且到点O距离为45km，A，B城居民的“平均不满意度”最小．…（16分）

点评 本题考查A，B两城居民，“不满意度”的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线性质的合理运用．