Question

已知m，k∈Z，且方程mx²-kx+2=0在（0，1）上有两个不同的实数根，则m+k的最小值为

 

．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：设出f（x）=mx²-kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的图象恒过定点（0，2），将一元二次方程的根的分布转化为确定相应的二次函数的图象处理，根据图象可得到关于m和k的不等式组，此时不妨考虑利用不等式所表示的平面区域解决，但须注意这不是线性规划问题，同时注意取整点．

解答： 解：设f（x）=mx²-kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的图象恒过定点（0，2），
因此要使已知方程在区间（0，1）内两个不同的根，即f（x）的图象在区间（0，1）内与x轴有两个不同的交点即由题意可以得到：必有

m＞0 f(1)=m-k+2 0＜ k 2m ＜1 △=k2-8m＞0

，即

m＞0 m-k+2＞0 2m-k＞0 k2-8m＞0

，
在直角坐标系中作出满足不等式平面区域，
如图所示，设z=m+k，则直线m+k-z=0经过图中的阴影中的整点（6，7）时，
z=m+k取得最小值，即z_min=13．
故答案为13．

点评：本题考查了一元二次方程根的分布，结合函数图象以及平面区域解答．