Question

11．如图，设△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边分别为a，b，c，且角A，B，C成等差数列，a=2，线段AC的垂直平分线分别交线段AB，AC于D，E两点．
（1）若△BCD的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求线段CD的长；
（2）若$CD=\sqrt{3}$，求角A的值．

Answer 1

分析 （1）先根据三角形的内角A，B，C成等差数列，求出B的度数，再根据三角的面积公式求出BD，再根据余弦定理即可求出，
（2）若$CD=\sqrt{3}$，求出∠BDC，即可求角A的值．

解答 解：（1）三角形的内角A，B，C成等差数列，
则有2B=A+C．又A+B+C=180°，
∴B=60°，
∵△BCD的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，a=2
∴$\frac{1}{2}$BD•BC•sin60°=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴BD=$\frac{2}{3}$，
由余弦定理，CD²=BD²+BC²+2BD•BC•cos60°=$\frac{28}{9}$，
∴CD=$\frac{2\sqrt{7}}{3}$；
（2）△BCD中，$CD=\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{sin60°}=\frac{2}{sin∠BDC}$，∴sin∠BDC=1，
∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB，
∵∠A=∠B=$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查余弦定理三角形的面积公式以及等差数列的性质，属于中档题．