Question

16．已知函数的定义域为R，且满足下列三个条件：
①对任意的x₁，x₂∈[4，8]，当x₁＜x₂时，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0；
②f（x+4）=-f（x）；
③y=f（x+4）是偶函数；
若a=f（6），b=f（11），c=f（2017），则a，b，c的大小关系正确的是（　　）

• A． a＜b＜c
• B． b＜a＜c
• C． a＜c＜b
• D． c＜b＜a

Answer 1

分析 根据题意，由①分析可得函数f（x）在区间[4，8]上为增函数，由②分析可得函数f（x）的周期为8，由③分析可得函数f（x）的图象关于直线x=-4和x=4对称，进而分析可得a=f（6），b=f（11）=f（3）=f（5），c=f（2017）=f（252×8+1）=f（1）=f（7），结合函数在[4，8]上的单调性，分析可得答案．

解答 解：根据题意，
若对任意的x₁，x₂∈[4，8]，当x₁＜x₂时，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，则函数f（x）在区间[4，8]上为增函数，
若f（x+4）=-f（x），则f（x+8）=-f（x+4）=f（x），即函数f（x）的周期为8，
若y=f（x+4）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x=-4对称，又由函数的周期为8，则函数f（x）的图象也关于直线x=4对称，
a=f（6），b=f（11）=f（3）=f（5），c=f（2017）=f（252×8+1）=f（1）=f（7），
又由函数f（x）在区间[4，8]上为增函数，
则有b＜a＜c；
故选：B．

点评 本题考查抽象函数的应用，关键是依据题意，分析函数的单调性和周期性．