Question

已知函数f（x）=2sin（π-x）cosx
（1）求f（x）的最小正周期及f（x）在区间[-

π

6

，

π

2

]上的最大值和最小值．
（2）若g（x）=f（x-

π

6

），求函数g（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,诱导公式的作用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）先化简函数，可得f（x）的最小正周期；再利用x∈[-

π

6

，

π

2

]，可得2x∈[-

π

3

，π]，即可求出f（x）在区间[-

π

6

，

π

2

]上的最大值和最小值；
（2）利用正弦函数的单调增区间，可得函数g（x）的单调增区间．

解答： 解：（1）f（x）=2sin（π-x）cosx=2sinxcosx=sin2x，
∴f（x）的最小正周期π；
∵x∈[-

π

6

，

π

2

]，
∴2x∈[-

π

3

，π]，
∴sin2x∈[-

3

2

，1]，
∴f（x）在区间[-

π

6

，

π

2

]上的最大值为1，最小值为

3

2

．
（2）g（x）=f（x-

π

6

）=sin2（x-

π

6

）=sin（2x-

π

3

），
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，可得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ（k∈Z），
∴函数g（x）的单调增区间为[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]（k∈Z）．

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，正确运用三角函数的性质是关键．