Question

14．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书、还书的等待时间进行调查，得到下表：
甲图书馆

借（还）书等待时间T1（分钟）	1	2	3	4	5
频数	1500	1000	500	500	1500

乙图书馆

借（还）书等待时间T2（分钟）	1	2	3	4	5
频数	1000	500	2000	1250	250

以表中等待时间的学生人数的频率为概率．
（1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；
（2）学校规定借书、还书必须在同一图书馆，某学生需要借一本数学参考书，并希望借、还书的等待时间之和不超过4分钟，在哪个图书馆借、还书更能满足他的要求？

Answer 1

分析 （1）根据已知可得T₁，T₂的分布列及其数学期望．
（2）设T₁₁，T₁₂分别表示在甲图书馆借、还书所需等待时间，设事件A为“在甲图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T₁₁+T₁₂≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．设T₂₁，T₂₂分别表示在乙图书馆借、还书所需等待时间，设事件B为“在乙图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T₂₁+T₂₂≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．

解答 解：（1）根据已知可得T₁的分布列：

T1（分钟）	1	2	3	4	5
P	0.3	0.2	0.1	0.1	0.3

T₁的数学期望为：E（T₁）=1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0.1+5×0.3=2.9．

T2（分钟）	1	2	3	4	5
P	0.2	0.1	0.4	0.25	0.05

T₂的数学期望为：E（T₁）=1×0.2+2×0.1+3×0.4+4×0.25+5×0.05=2.85．因此：该同学甲、乙两图书馆借书的平均等待时间分别为：2.9分钟，2.85分钟．
（2）设T₁₁，T₁₂分别表示在甲图书馆借、还书所需等待时间，设事件A为“在甲图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T₁₁+T₁₂≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．
∴P（A）=0.3×0.3+0.3×0.2+0.3×0.1+0.2×0.3+0.2×0.2+0.1×0.3=0.31．
设T₂₁，T₂₂分别表示在乙图书馆借、还书所需等待时间，设事件B为“在乙图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T₂₁+T₂₂≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．
∴P（B）=0.2×0.2+0.2×0.1+0.2×0.4+0.1×0.2+0.1×0.1+0.4×0.2=0.25．
∴P（A）＞P（B）．∴在甲图书馆借、还书更能满足他的要求．

点评 本题考查了随机变量分布列的概率计算公式与数学期望计算公式、分类讨论方法、相互独立与互斥事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．