Question

2．已知A、B为椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点，点P在E上，在△APB中，tanA=$\frac{1}{3}$，tanB=$\frac{3}{4}$，则E的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 利用直线的斜率公式与角的正切值的关系，求得P坐标代入椭圆方程，即可求得a与b的关系，求得椭圆的离心率．

解答 解：设A（-a，0），B（a，0），P（x，y），（m＞0，n＞0），
由△APB中，tanA=$\frac{1}{3}$，tanB=$\frac{3}{4}$，
可得直线PA的斜率为$\frac{y}{x+a}$=$\frac{1}{3}$，
直线PB的斜率为$\frac{y}{x-a}$=-$\frac{3}{4}$，
解得：x=$\frac{5}{13}$a，y=$\frac{6}{13}$a，
将P（$\frac{5}{13}$a，$\frac{6}{13}$a）代入椭圆方程，可得：$\frac{25{a}^{2}}{169{a}^{2}}$+$\frac{36{a}^{2}}{169{b}^{2}}$=1，
化简可得$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=4，即$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选C．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用直线的斜率公式和点满足椭圆方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．