Question

如图所示，在三棱锥P-ABC中，E、F分别为AC、BC的中点．
（1）证明：EF∥平面PAB；（2）若PA=PB，CA=CB，求证：AB⊥PC；
（3）若PB=AB=CB，ABC=120°，PB⊥面ABC，求二面角P-AC-B的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）依题意知E，F为中位线推断出EF∥AB，依据线面平行的判定定理推断出EF∥平面PAB．
（2）取AB的中点G，连结PG，CG，根据PA=PB，CA=CB，判断出△PAB，△ACB均为等腰三角形进而可推断出AB⊥PG，AB⊥CG，利用线面垂直的判定定理得出AB⊥平面GPC，最后根据线面垂直的性质得出AB⊥PC的结论．

解答： 证明：（1）∵E，F为AC、BC的中点，
∴EF∥AB，
∵AB?平面PAB，EF?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
（2）取AB的中点G，连结PG，CG，

∵PA=PB，CA=CB，
∴AB⊥PG，AB⊥CG，
∵PG?平面GPC，CG?平面GPC，且PG∩CG=C，
∴AB⊥平面GPC，
∵PC?平面GPC，
∴AB⊥PC．
解：（3）连接BF，PF，
∵BA=CB，

∴BF⊥AC，
又∵PB⊥面ABC，AC?面ABC，
∴PB⊥AC，
又∵PB∩BF=B，PB，BF?平面PBF，
∴∠PFB即为二面角P-AC-B的平面角，
设PB=AB=CB=a，ABC=120°，
∴BF=

1

2

a，
∴tan∠PFB=

PB

BF

=2，
即二面角P-AC-B的正切值为2．

点评：本题主要考查了直线和平面平行的判定和直线与平面垂直的判定．综合考查了学生对基础知识的运用．