Question

定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求f（0）的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；
（3）如果f（-1）=2，求不等式f（

10

1-x

）＜

4

f(x)

的解集．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,其他不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令m=1，n=0，得出f（1）=f（1）•f（0 ），再结合当x＞0时，0＜f（x）＜1．得出f（0）=1
（2）设x₁＞x₂，由已知得出f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂ ）•f（x₂），且能得出0＜f（x₁-x₂）＜1，确定出f（x₁）＜f（x₂）后即可判断出函数f（x）在R上单调递减．
（3）由函数的单调性得出不等式，解得即可．

解答： 解：（1）：（1）令m=1，n=0则f（1）=f（1）•f（0）又0＜f（1）＜1∴f（0）=1
（2）函数为增函数，
理由如下：设x₂＞x₁则x₂-x₁＞0，
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1．
∴0＜f（x₂-x₁）＜1，
∴f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）•f（x₂-x₁）＜f（x₁）
∴函数f（x）是R上的减函数
所以，函数f（x）在R上单调递减．
（3）令m=-1，n=-1则f（-2）=f（-1）•f（-1），
∴f（-2）=4，
∵f（

10

1-x

）＜

4

f(x)

，
∴f（x）•f（

10

1-x

）＜4，
∴f（x+

10

1-x

）＜f（-2），
又函数f（x）是R上的减函数，
∴x+

10

1-x

＞-2，
解得-4＜x＜1，或x＞3，
故原不等式的解集为（-4，1）∪（3，+∞）．

点评：本题主要考查了抽象函数表达式反映函数性质及抽象函数表达式的应用，函数单调性的定义及其证明，利用函数性质和函数的单调性解不等式的方法，转化化归的思想方法