题目内容
已知函数f（x）=
是奇函数（b∈R），若f（x）＜a对一切实数x都成立，求实数a的取值范围．
| x+b |
| x2+4 |
考点：函数奇偶性的性质
专题：函数的性质及应用
分析：先根据奇函数的性质，即f（0）=0，求得b的值，再利用分类讨论的思想，根据基本不等式求出a的范围．
解答：
解：∵f（x）=
是奇函数，
∴f（0）=0，
∴b=0，
∴f（x）=
，
当x=0时，f（0）=0＜a，
当x＞0时，
∴f（x）=
=
≤
＜a，当且仅当x=2时取等号，
当x＞0时，
∴f（x）=
=
=-
≤-
＜a，当且仅当x=-2时取等号，
∵f（x）＜a对一切实数x都成立，
∴a＞
，
故a的取值范围是（
，+∞）．
| x+b |
| x2+4 |
∴f（0）=0，
∴b=0，
∴f（x）=
| x |
| x2+4 |
当x=0时，f（0）=0＜a，
当x＞0时，
∴f（x）=
| x |
| x2+4 |
| 1 | ||
x+
|
| 1 |
| 4 |
当x＞0时，
∴f（x）=
| x |
| x2+4 |
| 1 | ||
x+
|
| 1 | ||
(-x)+(-
|
| 1 |
| 4 |
∵f（x）＜a对一切实数x都成立，
∴a＞
| 1 |
| 4 |
故a的取值范围是（
| 1 |
| 4 |
点评：本题主要考查了函数的奇偶性和基本不等式，以及函数恒成立的问题，属于中档题．
练习册系列答案
金牌教辅培优优选卷期末冲刺100分系列答案
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