Question

为激发学生的学习兴趣，老师上课时在黑板上写出三个集合：A={x|x（△x-1）＜0}，B={x|2x²+x-1≤0}，C={x|log₃x＜-1}；然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“△”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数．以下是甲、乙、丙三位同学的描述：甲：此数为小于6的正整数；乙：A是B成立的充分不必要条件；丙：A是C成立的必要不充分条件．若老师评说三位同学说的都对．
（1）试求“△”中的数；
（2）求（∁_RA）∩（B∪C）．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,交、并、补集的混合运算

专题：简易逻辑

分析：根据条件分别求出△满足的关系，即可求出△的取值，然后根据集合的基本运算即可求出结果．

解答： 解：（1）设△对应的数为m，
则由甲可知，m是小于6的正整数，
则A={x|x（△x-1）＜0}={x|0＜x＜

1

m

}，
B={x|2x²+x-1≤0}={x|-1≤x≤

1

2

}，C={x|log₃x＜-1}={x|0＜x≤

1

3

}；
∵A是B成立的充分不必要条件；A是C成立的必要不充分条件．
∴A?B，C?A，即C?A?B，
则

1

3

＜

1

m

≤

1

2

，
即2≤m＜3，
∵m是小于6的正整数，
∴m=2，即△对应的数为2，．
若老师评说三位同学说的都对．
（2）∵A={x|0＜x＜

1

2

}，
∴∁_RA={x|x≥

1

2

或x≤0}，
B∪C={x|-1≤x≤

1

2

}，
∴（∁_RA）∩（B∪C）={x|-1≤x≤0或x=

1

2

}．

点评：本题主要考查集合的基本运算，以及充分条件和必要条件的应用，比较基础．