题目内容
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2C-2cos2
+1=0，
（1）求角C的大小；
（2）若b2=3a2+c2，求tanB的大小．
| A+B |
| 2 |
（1）求角C的大小；
（2）若b2=3a2+c2，求tanB的大小．
考点：余弦定理,二倍角的余弦
专题：解三角形
分析：（1）在△ABC中，由条件 cos2C-2cos2
+1=0，求得cosC 的值，可得C的值．
（2）由b2=3a2+c2，利用余弦定理求得c2=a2+b2-ab，从而求得b=4a，可得c=
a．再由正弦定理可得
sinB的值，可得cosB的值，再根据tanB=
求得结果．
| A+B |
| 2 |
（2）由b2=3a2+c2，利用余弦定理求得c2=a2+b2-ab，从而求得b=4a，可得c=
| 13 |
sinB的值，可得cosB的值，再根据tanB=
| sinB |
| cosB |
解答：
解：（1）在△ABC中，∵cos2C-2cos2
+1=0，
∴2cos2C-1-cos（A+B）=0，即2cos2C-1+cosC=0，
解得cosC=-1（舍去），或cosC=
，∴C=60°．
（2）若b2=3a2+c2，∵c2=a2+b2-2ab•cosC=a2+b2-ab，
∴b2-3a2=a2+b2-ab，∴b=4a，∴c=
a．
△ABC中，由正弦定理可得
=
，即
=
，解得 sinB=
．
由于b为最大边，故B为最大角，故 cosB=±
，∴tanB=
=±2
．
| A+B |
| 2 |
∴2cos2C-1-cos（A+B）=0，即2cos2C-1+cosC=0，
解得cosC=-1（舍去），或cosC=
| 1 |
| 2 |
（2）若b2=3a2+c2，∵c2=a2+b2-2ab•cosC=a2+b2-ab，
∴b2-3a2=a2+b2-ab，∴b=4a，∴c=
| 13 |
△ABC中，由正弦定理可得
| c |
| sinC |
| b |
| sinB |
| ||
| sin60° |
| 4a |
| sinB |
2
| ||
| 13 |
由于b为最大边，故B为最大角，故 cosB=±
| ||
| 13 |
| sinB |
| cosB |
| 3 |
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，根据三角函数的值求角，属于中档题．
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