Question

过点P（1，2）的直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．
（Ⅰ）若P为AB中点时，求的方程；
（Ⅱ）若|OA|+|OB|最小时，求△AOB的面积S．

Answer 1

考点：直线的截距式方程

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）由中点坐标公式求出A，B的坐标，直接由截距式方程得答案；
（Ⅱ）设出直线方程的截距式，代入点的坐标，得到

1

a

+

2

b

=1，由基本不等式求出|OA|+|OB|取最小时得a，b的值，代入三角形面积公式得答案．

解答： 解：（Ⅰ）设A（a，0），B（0，b），
∵P（1，2）为AB的中点，
∴A（2，0），B（0，4），
∴由截距式得

x

2

+

y

4

=1，
即的方程为2x+y-4=0；
（Ⅱ）依题得直线l与x轴不垂直，设A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0），
∴

x

a

+

y

b

=1，
又直线l过点P（1，2），
∴

1

a

+

2

b

=1，
∴|OA|+|OB|=a+b=（a+b）•（

1

a

+

2

b

）=3+

b

a

+

2a

b

≥3+2

b a • 2a b

=3+2

2

．
当且仅当

b

a

=

2a

b

时取等号，此时a=

2

+1，b=2+

2

．
∴当a=

2

+1，b=2+

2

时，|OA|+|OB|取最小值．
∴S=

1

2

ab=

1

2

(

2

+1)•(2+

2

)=

4+3 2

2

．

点评：本题考查了直线方程的截距式，训练了利用基本不等式求最值，关键是对“1”的灵活运用，是中档题．