Question

8．已知△ABC满足$AB=4，AC=2，∠BAC=\frac{2π}{3}$，点D、E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则 $\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{DC}$的值为（　　）

• A． -$\frac{3}{2}$
• B． $\frac{9}{4}$
• C． -2
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 由向量数量积的定义可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，再由中位线定理和向量的加减运算和向量数量积的性质，向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．

解答 解：$AB=4，AC=2，∠BAC=\frac{2π}{3}$，
可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4×2×cos$\frac{2π}{3}$=8×（-$\frac{1}{2}$）=-4，
由点D、E分别是边AB，BC的中点，
可得$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，
由DE=2EF，可得$\overrightarrow{DF}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{DE}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$，
则 $\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{DC}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AD}$）=（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$）
=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$²+$\frac{1}{8}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-$\frac{1}{4}$×16+$\frac{3}{4}$×4-$\frac{1}{8}$×4=-4+3-$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查向量的共线和平面向量基本定理的运用，以及向量数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．