Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1．
（1）求异面直线BA₁与CC₁所成角的大小；
（2）求证：A₁C⊥平面BC₁D；
（3）求三棱锥C-BDC₁的表面积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）因为BB₁与CC₁平行，所以将CC₁平移到BB₁，从而∠B₁BA₁为直线BA₁和CC₁所成的角，在三角形A₁BB₁中易求；
（2）要证明A₁C⊥平面BC₁D，只需证明直线A₁C垂直于平面BC₁D内的两条相交直线即可，故只需证明A₁C⊥BD，A₁C⊥BC₁即可；
（3）利用侧面积加上底面积，即可求三棱锥C-BDC₁的表面积．

解答： （1）解：∵BB₁∥CC₁
∴∠B₁BA₁为直线BA₁和CC₁所成的角，
∵四边形AA₁B₁B是正方形
∴△B₁BA₁为等腰直角三角形
∴∠B₁BA₁=45°，即直线BA₁和CC₁所成的角为45°-----------（4分）
（2）证明：连接AC交BD于一点O，
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又正方体中，AA₁⊥平面ABCD，
所以，AA₁⊥BD，又AA₁∩AC=A，
所以BD⊥平面CAA₁又A₁C?平面CAA₁
所以A₁C⊥BD，
同理可证A₁C⊥BC₁，又 BC₁交BD于一点B，
所以A₁C⊥平面BC₁D（10分）
（3）解：三棱锥C-BDC₁的表面积为3•

1

2

•1•1+

3

4

•(

2

)2=

3+ 3

2

----------------------（14分）

点评：本题着重考查了异面直线的判定，直线与平面位置关系中的垂直问题，证明思路是：要证线面垂直，需证线线垂直，在证明线线垂直过程中，往往需要通过证明线面垂直来实现，要注意线面垂直、线线垂直间的相互转化．